Operasi Himpunan

Jenis operasi himpunan yang sering digunakan pada himpunan yaitu operasi irisan, gabungan, komplemen, selisih, Beda setangkup, dan perkalian kartesian.

Berikut penjelasannya:

1. Irisan

Irisan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan Himpunan B.

Notasi: A ∩ B = { x|x є A dan x є B }

Contoh 1:

Misalkan A = { ( x, y ) | ( x, y ) = ( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 1, 1 ) } dan B = { ( x, y ) | ( x, y ) = ( 1, 1 ), ( 1, 2), ( 2, 1 ) }

Maka A ∩ B = { ( x, y ) | ( x, y ) = ( 1, 1 ) }

Contoh 2:
Misalkan A = { 1, 2, 3 }
                B = { 2, 3, 5}
                A ∩ B = { 2, 3 }

2. Gabungan

Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.

Notasi: A U B = { x | x ∈ A atu X ∈ B }

Contoh 1:

Misalkan A = { x | 0 < x < 1 } dan B = { x | -1< x < 2 }.

Maka A U B = { x | -1< x < 2 }

Contoh 2:
A = { 1, 2, 3 }
B = { 2, 3, 5 }
A U B = { 1,2,3,5 }

3. Komplemen

Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta S adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen S yang bukan elemen A.

Notasi: A' = { x | x  ∈ S Λ X ∉ A }

Diagram venn untuk A^c ( daerah yang diarsir)

Contoh:
A = { 1, 2, 3}
S = {1, 2, 3, 4, 5}
A' = {4, 5}

4. Selisih

Selisih dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen A dan bukan elemen B.

Notasi: A - B = { x | x ε A dan x bukan anggota B }

Contoh 1:

Jika A = { 1, 2, …, 10 } dan B = { bilangan genap dari 1 – 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A = Ø

Contoh 2:
A = { 1, 2, 3 }
B=  {2, 3, 5 }
A - B = { 1 }
B - A = { 5 }
Jadi A - B tidak dama sengan B - A

5. Beda Setangkup

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Notasi:
A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)
            = (A – B) ∪ (B – A)

Contoh 1:

Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 } maka A ⊕ B = { 3, 4, 5, 6 }

Contoh 2:
Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 },
maka
A ⊕ B = { 1, 4, 7 }

Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a) A ⊕ B = B ⊕ A                                         (hukum komutatif)
(b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C )                  (hukum asosiatif)

6. Perkalian Kartesian

Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua Dari himpunan B.

Notasi: A X B = {( a, b ) | a є A dan b є B }

Contoh:

Jika A = { 1, 2, 3} dan B { c, d } maka

A X B = { (1, a ), ( 1, b ), ( 2, a ), ( 2, b ), ( 3, a ), ( 3, b) }

Hukum-hukum yang berlaku untuk operasi himpunan adalah sebagai berikut:
1. Hukum identitas:
− A ∪ ∅ = A
− A ∩ U = A
2. Hukum null/dominasi:
− A ∩ ∅ = ∅
− A ∪ U = U
3. Hukum komplemen:
− A ∪ -A = U
− A ∩ -A = ∅
4. Hukum idempoten:
− A ∪ A = A
− A ∩ A = A
5. Hukum involusi:
− (–A)= A
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
− A ∪ (A ∩ B) = A
− A ∩ (A ∪ B) = A
7. Hukum komutatif:
− A ∪ B = B ∪ A
− A ∩ B = B ∩ A
8. Hukum asosiatif:
− A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
− A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
9. Hukum distributif:
− A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
− A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
10. Hukum De Morgan:
− A∩B = A∪B
− A∪B = A∩B
11. Hukum komplemen
− (-∅) = U
− (-U) = ∅

Materi Yang Sama Klik disini